院試 過去問から 量子力学（１）

量子力学

一次元ポテンシャルV(x)中を運動する粒子に対する，時間を含まないシュレディンガー方程式は
-\frac{\hbar^2}{2{m}}\frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{d}x^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x)
である．
V(-x)=V(x)が成り立ち，\psi(x)は縮退していないと仮定すると，このとき\psi(x)は一定のパリティをもつ．
つまり
\psi(x)=+\psi(-x)　　偶パリティ
\psi(x)=-\psi(-x)　　奇パリティ
が成り立つことを示せ．

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-\frac{\hbar^2}{2{m}}\frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{d}x^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x)
でxを-xとすると
-\frac{\hbar^2}{2{m}}\frac{\mathrm{d}^2\psi(-x)}{\mathrm{d}x^2}+V(-x)\psi(-x)=E\psi(-x)
ここでV(-x)=V(x)を用いて
-\frac{\hbar^2}{2{m}}\frac{\mathrm{d}^2\psi(-x)}{\mathrm{d}x^2}+V(x)\psi(-x)=E\psi(-x)
となるから，\psi(-x)も同一のエネルギーEに属する解となる．しかし，仮定により\psi(x)は縮退していないから\psi(x)と\psi(-x)は1次従属となる．
つまり
\psi(x)+\epsilon\psi(-x)=0
となる\epsilonが存在することになる．